北邮大三上2022年《算法设计与分析》期末试题-A卷

本题是北京邮电大学2022-2023学年第一学期《算法设计与分析》的期末考试A卷，主要涵盖了算法分析、分治法、动态规划、贪心算法和回溯法等核心知识点。 1. **渐近上界 O 的定义与证明**： 渐近上界 O 表示函数的上限，用来描述一个函数相对于另一个函数的增长速度。如果存在常数 c 和正整数 n0，使得对于所有 n > n0，都有 |f(n)| ≤ c|g(n)| 成立，那么我们说 f(n) 是 g(n) 的渐近上界，记作 f(n) = O(g(n))。证明 3𝑛2 + 4𝑛 = 𝑂(𝑛2) 需要找到合适的 c 和 n0，使得当 n > n0 时，3𝑛2 + 4𝑛 不超过 c × 𝑛2。显然，取 c = 4，n0 = 1，则当 n > 1 时，3𝑛2 + 4𝑛 <= 4𝑛2，因此结论成立。 2. **线性齐次递归方程的求解**： 这是一个典型的线性递归方程，可以通过特征根法解决。给定的方程为 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛 ― 1) +12𝑓(𝑛 ― 2)，𝑓(1) = 1, 𝑓(0) = 1/2。求解特征方程 λ² - λ - 12 = 0，得到特征根 λ1 和 λ2。然后根据特征根构造通解，结合初始条件得到特解。 3. **寻找第 k 小元素的算法**： 这个问题是经典的“快速选择”算法，属于分治法的应用。算法的基本思想是在数组中随机选取一个元素作为基准，将数组分为两部分，一部分比基准小，另一部分比基准大。如果基准的位置恰好是 k-1，那么基准就是第 k 小的元素。否则，根据基准的位置，可以在较小或较大的部分中继续查找，从而减少搜索范围。 4. **最长公共子序列问题**： 动态规划是解决这个问题的常用方法。定义一个二维数组 dp[i][j]，表示序列 X 的前 i 个元素和 Y 的前 j 个元素的最长公共子序列的长度。通过状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + (x_i == y_j), max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])) 来填充这个数组，最后 dp[m][n] 即为答案。同时，根据 dp 数组可以反向构造最长公共子序列。 5. **背包问题**： 这是一个 0-1 背包问题的变种，允许部分装载。整数规划模型可以表述为最大化 ∑(vi * xi)，其中 xi 表示物品 i 是否被选中（0 或 1），满足约束 ∑(wi * xi) <= C。贪心策略是每次选取单位价值最大的物品，但这种策略不一定能得到最优解。编写贪心算法的伪代码并分析时间复杂性，通常贪心算法的时间复杂度为 O(n log n)。 6. **4 皇后问题**： 回溯法是解决这个问题的有效手段。定义一个数组表示每行皇后的列位置，从第一行开始尝试放置皇后，若当前行无法放置则回溯到上一行重新尝试。剪枝策略包括检查当前皇后是否与已放置的皇后冲突（在同一行、同一列或同一对角线上）。基于回溯法的 C/C++ 算法伪代码可以描述搜索过程，并分析算法的时间复杂性，通常是 O(4^n / sqrt(n))，因为对于 n×n 的棋盘，最多有 n! 个不同的排列，但由于对称性，实际解的数量较少。 以上是对试卷中各题目的详细解析，涉及的算法和方法是计算机科学中的基础，对于理解和解决实际问题具有重要意义。